题目内容
已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与| aj | ai |
（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；
（2）求a1的值；当n=3时，数列a1，a2，a3是否成等比数列，试说明理由；
（3）由（2）及通过对A的探究，试写出关于数列a1，a2，…，an的一个真命题，并加以证明．
分析：（1）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与
两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；
（2）根据A={a1，a2，…，an} 具有性质P，则anan 与
中至少有一个属于A，由于 1≤a1＜a2＜…an，故anan∉A 从而1=
∈A 求出a1的值，易证
，
，
都属于A，从而
=a3，
=a2，
=a1，即a3=a1a3=a22，满足等比数列的定义；
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．
| aj |
| ai |
（2）根据A={a1，a2，…，an} 具有性质P，则anan 与
| an |
| an |
| an |
| an |
| a3 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a3 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列，由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），仿照（2）的方法进行证明即可．
解答：解：（1）由于3×4 与
均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4} 不具有性质P …2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，
，
，
，
，
，
都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a1，a2，…，an} 具有性质P，
∴anan 与
中至少有一个属于A，由于 1≤a1＜a2＜…an，故anan∉A …5分
从而1=
∈A …6分∴a1=1 …7分
当n=3 时，∵
＞
＞
，a1=1，a2a3∉A，∴
，
，
都属于A …8分
从而
=a3，
=a2，
=a1，即a3=a1a3=a22，…9分
故数列a1，a2，a3 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），知
，
，
，…，
都属于A，又
＞
＞
＞…＞
，从而，有
=a2k+1，
=a2k，
=a2k-1，…，
=a1，即 a2k+1=a1a2k+1=a2a2k=a3a2k-1=…=ai+2a2k-i=…=a2ak+2=ak+12 …（﹡） 因为ai+ja2k-i＞ai+2a2k-i=a2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有
，
，… ，
均属于A． 将i 从0 到k-2 列举，便得到：
第1组：
，
，
， … ，
，
，共2k-2 项；
第2组：
，
，
， … ，
，
，共2k-4 项；
第3组：
，
，
， … ，
，
，共2k-6 项；
…第k-1 组：
，
，共2 项．上一组的第2项总大于下一组的第1项，
再注意到
=
＜a2k-1，故第1组的各数从左到右依次为：a2k-2，a2k-3，a2k-4，…，a2，a1；第2组的各数从左到右依次为：a2k-4，a2k-5，a2k-6，…，a2，a1；第3组的各数从左到右依次为：a2k-6，a2k-7，a2k-8，…，a2，a1； …第k-1 组的各数从左到右依次为：a2，a1．于是，有
=
=
=…=
=a2，由（﹡），
=
，
=
，…，
=
，又
=a2，故数列a1，a2，…，an 成等比数列．…15分
| 4 |
| 3 |
由于1×2，1×3，1×6，2×3，
| 6 |
| 2 |
| 6 |
| 3 |
| 1 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 6 |
| 6 |
∴数集{1，2，3，6} 具有性质P…4分
（2）∵A={a1，a2，…，an} 具有性质P，
∴anan 与
| an |
| an |
从而1=
| an |
| an |
当n=3 时，∵
| a3 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
| a3 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
从而
| a3 |
| a1 |
| a3 |
| a2 |
| a3 |
| a3 |
故数列a1，a2，a3 成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P 的数列a1，a2，…，an 成等比数列． …12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），知
| a2k+1 |
| a1 |
| a2k+1 |
| a2 |
| a2k+1 |
| a3 |
| a2k+1 |
| a2k+1 |
| a2k+1 |
| a1 |
| a2k+1 |
| a2 |
| a2k+1 |
| a3 |
| a2k+1 |
| a2k+1 |
| a2k+1 |
| a1 |
| a2k+1 |
| a2 |
| a2k+1 |
| a3 |
| a2k+1 |
| a2k+1 |
| a2k-i |
| ai+3 |
| a2k-i |
| ai+4 |
| a2k-i |
| a2k-i |
第1组：
| a2k |
| a3 |
| a2k |
| a4 |
| a2k |
| a5 |
| a2k |
| a2k-1 |
| a2k |
| a2k |
第2组：
| a2k-1 |
| a4 |
| a2k-1 |
| a5 |
| a2k-1 |
| a6 |
| a2k-1 |
| a2k-2 |
| a2k-1 |
| a2k-1 |
第3组：
| a2k-2 |
| a5 |
| a2k-2 |
| a6 |
| a2k-2 |
| a7 |
| a2k-2 |
| a2k-3 |
| a2k-2 |
| a2k-2 |
…第k-1 组：
| ak+2 |
| ak+1 |
| ak+2 |
| ak+2 |
再注意到
| a2k |
| a3 |
| a2k-1 |
| a2 |
| a2k |
| a2k-1 |
| a2k-1 |
| a2k-2 |
| a2k-2 |
| a2k-3 |
| ak+2 |
| ak+1 |
| ak+1 |
| ak |
| ak+2 |
| ak+1 |
| ak |
| ak-1 |
| ak+3 |
| ak+2 |
| a3 |
| a2 |
| a2k |
| a2k-1 |
| a2k+1 |
| a2k |
点评：本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．
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