题目内容
已知函数的定义域为
,且
的图象连续不间断. 若函数
满足:对于给定的
(
且
),存在
,使得
,则称
具有性质
.
(1)已知函数,
,判断
是否具有性质
,并说明理由;
(2)已知函数 若
具有性质
,求
的最大值;
(3)若函数的定义域为
,且
的图象连续不间断,又满足
,
求证:对任意且
,函数
具有性质
.
(1)具有该性质,证明见解析;(2);(3)证明见解析.
解析
试题分析:(1)创新定义问题,首先要读懂具有性质P(m)的意思, 对于给定的(
且
),存在
,使得
,按照此定义进行判断,假设具有该性质, 设
,令
,解得
,满足定义,故具有性质P(3);(2)m在0到1之间,取一半,看是
具有性质P(),如果有,再判断是否有大于
的m,没有的话,最大值就是
;(3)构造函数
,则
,
…
…
=
-
,相加,有
,分里面有零和没零进行讨论,得到结论.
试题解析:(1)设,即
令, 则
解得,
所以函数具有性质
(2)m的最大值为.
首先当时,取
,
则,
,
所以函数具有性质
,
假设存在,使得函数
具有性质
,
则,
当时,
,
,
,
当时,
,
,
,
所以不存在,使得
,
故的最大值为
.
(3)任取,
设,其中
,
则有,
,
,
……,
……,
以上各式相加得:,
当中有一个为
时,不妨设为
,
即,
则函数具有性质
,
当均不为
时,由于其和为
,则必然存在正数和负数,
不妨设其中
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