Question

已知f'（x）是f（x）的导数，记f^（1）（x）=f'（x），f^（n）（x）=（f^（n-1）（x））'（n∈N，n≥2），给出下列四个结论：
①若f（x）=xⁿ，则f^（5）（1）=120；
②若f（x）=cosx，则f^（4）（x）=f（x）；
③若f（x）=e^x，则f^（n）（x）=f（x）（n∈N⁺）；
④设f（x）、g（x）、f^（n）（x）和g^（n）（x）（n∈N⁺）都是相同定义域上的可导函数，h（x）=f（x）•g（x），则h^（n）（x）=f^（n）（x）•g^（n）（x）（n∈N⁺）．
则结论正确的是

①②③

（多填、少填、错填均得零分）．

Answer 1

分析：根据导数的运算法则逐个命题判断即可得到结论．

解答：解：①中，由f（x）=xⁿ，得f^（5）（1）=5×4×3×2×1=120，故①正确；
②中，f^（1）（x）=f′（x）=-sinx，f^（2）（x）=-cosx，f^（3）（x）=sinx，f^（4）（x）=cosx=f（x），故②正确；
③中，由于f（x）=e^x，所以f^（1）（x）=e^x，f^（2）（x）=e^x，…，f^（n）（x）=e^x=f（x），故③正确；
④中，令f（x）=x，g（x）=1，则h（x）=x，
而h^（1）（x）=1，f^（1）（x）•g^（1）（x）=0，所以h^（1）（x）≠f^（1）（x）g^（1）（x），故④错误；
故答案为：①②③．

点评：本题考查导数的运算性质，考查学生的运算能力，属基础题．