题目内容
【题目】已知函数f(x)＝elnx，g(x)＝
f(x)－(x＋1)．(e＝2.718……)
(1)求函数g(x)的极大值；
(2)求证：1＋
＋
＋…＋
>ln(n＋1)(n∈N*)．
【答案】见解析
【解析】(1)解 ∵g(x)＝
f(x)－(x＋1)＝lnx－(x＋1)，
∴g′(x)＝
－1(x>0)．
令g′(x)>0，解得0<x<1；
令g′(x)<0，解得x>1.
∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)极大值＝g(1)＝－2.
(2)证明 由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点，
∴g(x)≤g(1)＝－2，即lnx－(x＋1)≤－2lnx≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)，
令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)，t>－1，
取t＝
(n∈N*)时，
则>ln
＝ln
，
∴1>ln2，
>ln
，
>ln
，…，>ln，
叠加得1＋＋＋…＋>ln(2···…·
)＝ln(n＋1)．
即1＋
＋＋…＋>ln(n＋1)．
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