Question

已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD⊥平面ABCD，且PD=2，E，F分别是AB和BC的中点．
（1）求直线AC到平面PEF的距离；
（2）求直线PB与平面PEF所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,点、线、面间的距离计算

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）建立如图坐标系，利用AC∥EF，可得直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离；
（2）平面PEF的法向量为

n

=（4，8，3），cos＜

PB

，

n

＞=

4+8-6

6 • 89

=

6 89

，即可得出结论．

解答： 解：建立如图坐标系
（1）∵AC∥EF
∴直线AC到平面PEF的距离也即是点A到平面PEF的距离
又A（1，0，0）E（1，

1

2

，0）F（

1

2

，1，0）P（0，0，2）
∴平面的法向量为

n

=（1，2，

3

4

），
故

n0

=（

4

89

，

8

89

，

3

89

又

AE

=（0，

1

2

，0）
∴点A到平面PEF的距离为d=|

AE

•

n0

|=

4 89

89

∴直线AC到平面PEF的距离为

4 89

89

（2）设所求线面角为α，B（1，1，0），

PB

=（1，1，-2）
又（1）知平面PEF的法向量为

n

=（4，8，3），
cos＜

PB

，

n

＞=

4+8-6

6 • 89

=

6 89

故sinα=

6 89

∴cosα=

83 89

也即为所求值

点评：本题考查直线AC到平面PEF的距离，考查直线PB与平面PEF所成角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．