题目内容

若f(x)=2(log2x)2+alog2x-2+b,在x=
1
2
时,取得最小值1,
(1)求a和b的值.
(2)求x∈[
1
4
,8]上的值域.
分析:(1)将函数进行化简,利用在x=
1
2
时,取得最小值1,得到结论.
(2)利用换元法将函数转换为一元二次函数,利用二次函数的性质求值域.
解答:解:(1)函数的定义域为(0,+∞),
因为f(x)=2(log2x)2+alog2x-2+b=2(log2x)2-2alog2x+b,
设t=log2x,则函数等价为g(t)=2t2-2at+b=2(t-
a
2
)
2
+b-
a2
2

因为当x=
1
2
时,取得最小值1,此时t=log2
1
2
=-1

所以
a
2
=-1,b-
a2
2
=1
,解得a=-2,b=3.…(6分)
(2)因为a=-2,b=3.,所以g(t)=2(t+1)2+1,二次函数的对称轴为t=-1,…(8分)
因为x∈[
1
4
,8],所以-2≤t≤3…(10分)
所以1≤y≤33.
即函数的值域为[1,33]…(12分)
点评:本题主要考查了对数函数的运算和性质,利用换元法将函数转化为一元二次函数,利用二次函数的图象和性质解决问题是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网