题目内容
若f(x)=2(log2x)2+alog2x-2+b,在x=
时,取得最小值1,
(1)求a和b的值.
(2)求x∈[
,8]上的值域.
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2 |
(1)求a和b的值.
(2)求x∈[
1 |
4 |
分析:(1)将函数进行化简,利用在x=
时,取得最小值1,得到结论.
(2)利用换元法将函数转换为一元二次函数,利用二次函数的性质求值域.
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(2)利用换元法将函数转换为一元二次函数,利用二次函数的性质求值域.
解答:解:(1)函数的定义域为(0,+∞),
因为f(x)=2(log2x)2+alog2x-2+b=2(log2x)2-2alog2x+b,
设t=log2x,则函数等价为g(t)=2t2-2at+b=2(t-
)2+b-
,
因为当x=
时,取得最小值1,此时t=log2
=-1,
所以
=-1,b-
=1,解得a=-2,b=3.…(6分)
(2)因为a=-2,b=3.,所以g(t)=2(t+1)2+1,二次函数的对称轴为t=-1,…(8分)
因为x∈[
,8],所以-2≤t≤3…(10分)
所以1≤y≤33.
即函数的值域为[1,33]…(12分)
因为f(x)=2(log2x)2+alog2x-2+b=2(log2x)2-2alog2x+b,
设t=log2x,则函数等价为g(t)=2t2-2at+b=2(t-
a |
2 |
a2 |
2 |
因为当x=
1 |
2 |
1 |
2 |
所以
a |
2 |
a2 |
2 |
(2)因为a=-2,b=3.,所以g(t)=2(t+1)2+1,二次函数的对称轴为t=-1,…(8分)
因为x∈[
1 |
4 |
所以1≤y≤33.
即函数的值域为[1,33]…(12分)
点评:本题主要考查了对数函数的运算和性质,利用换元法将函数转化为一元二次函数,利用二次函数的图象和性质解决问题是解决本题的关键.
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