Question

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x²-y²=1总有公共点，则b的取值范围是

[-

3

，

3

]

．

Answer 1

分析：把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]=4[3（k-2b×

1

3

3）²+b²+1-4b²×

1

3

]，不论k取何值，△≥0，所以

b2

3

≤1，由此能求出b的取值范围．

解答：解：把y=k（x-2）+b代入x²-y²=1得：
x²-[k（x-2）+b]²=1，
（1-k²）x²-2k（b-2k）x-（b-2k）²-1=0，
△=4k²（b-2k）²+4（1-k²）[（b-2k）²+1]
=4（1-k²）+4（b-2k）²
=4[3k²-4bk+b²+1]
=4[3（k-2b×

1

3

3）²+b²+1-4b²×

1

3

]，
不论k取何值，△≥0
b²+1-4b²×

1

3

≥0
∴

b2

3

≤1，
b²≤3，
-

3

≤b≤

3

．
故答案为：[-

3

，

3

]．

点评：本题考查直线与双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意根的判别式的合理运用．