Question

如图，已知动直线l过点 P(4，0)，交抛物线y²＝2mx(m＞0)于A、B两点，O为PQ的中点.(1)求证：

∠AQP＝∠BQP.(2)当m＝2时，是否存在垂直于x轴的直线l′被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出l′的方程；如果不存在，试说明理由.

Answer 1

思路解析：(1)从图中不难看出，要证∠AQP＝∠BQP，只要证：k_QA+k_QB＝0即可.(2)为探索性问题，一般假设直线存在，且被动圆所截得的弦长恒为定值，说明与动圆的直径AP的斜率无关.

(1)证明：设直线AB的方程为y＝k(x-4)，代入y²＝2mx得

k²(x-4)²=2mx,∴k²x²-2(4k²+m)x+16k²=0.

设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),则x₁x₂=16.

k_QA==,k_QB==.

∵k_QA+k_QB=+==0,

∴k_QA+k_QB=0,从而得∠AQP＝∠BQP.

(2)解：当m=2时，抛物线方程为y²=4x.

假设存在直线l′：x=a被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值，设弦长为L，依据垂径定理，可知（）²=r²-d²，d是弦心距，r是圆的半径，

∴（）²=(-4)²+（）²-(-a)²=-4x₁+ax₁++16-a²=(a-3)x₁+16-a².

∵为常数，∴(a-3)x₁+16-a²的取值与x₁无关.

∴a=3.∴存在直线l′：x=3，满足以AP的直径的圆截直线l′所得弦长为定值2.