Question

已知抛物线C：y=ax²（a＞0）上的点P（b，1）到焦点的距离为

5

4

，
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）如图，已知动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x-2上，且|AB|=

2

，现过A作C的切线，取左边的切点M，过B作C的切线，取右边的切点为N，当MN∥AB，求A点的横坐标t的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出抛物线的准线方程，利用抛物线的定义把点P（b，1）到焦点的距离转化为到准线的距离，由此可求a的值；
（Ⅱ）设出M和N的坐标，利用导数求出过M和N的切线方程，由t表示出A，B的坐标，把A，B代入切线方程后求出M和N的坐标，由两点式写出MN所在直线的斜率，由斜率等于1即可求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）抛物线C：y=ax²即x2=

1

a

y，准线方程为：y=-

1

4a

，
∵点P（b，1）到焦点的距离为

5

4

，∴1+

1

4a

=

5

4

，∴a=1，∴抛物线C的方程为y=x²；
（Ⅱ）设M(x1，

x

2 1

)，N(x2，

x

2 2

)，∵y=x²，∴y'=2x，∴k_AM=2x₁，
∴切线AM的方程为：y-

x

2 1

=2x1(x-x1)，即y=2x1x-

x

2 1

，
同理可得切线BN的方程为：y=2x2x-

x

2 2

由于动线段AB（B在A右边）在直线l：y=x-2上，且|AB|=

2

，
故可设A（t，t-2），B（t+1，t-1），
将A（t，t-2）代入切线AM的方程，得t-2=2x1t-

x

2 1

，即

x

2 1

-2tx1+t-2=0，
∴x1=

2t- 4t2-4(t-2)

2

=t-

t2-t+2

，
同理可得x2=t+1+

(t+1)2-(t+1)+2

=t+1+

t2+t+2

，
∵kMN=

x 2 2 - x 2 1

x2-x1

=x1+x2，当MN∥AB时，k_MN=1，得x₁+x₂=1，
∴t-

t2-t+2

+t+1+

t2+t+2

=1，
∴2t=

t2-t+2

-

t2+t+2

，
∴2t=

-2t

t2-t+2 + t2+t+2

得t=0或

t2-t+2

+

t2+t+2

=-1（舍去），∴t=0．

点评：本题考查了抛物线的方程，运用了数学转化思想方法．考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了利用导数求曲线上某点的切线方程，考查了二次方程根的求法，解答此题的关键是用A点的坐标表示出B点的坐标，属难题．