题目内容

(2012•吉林二模)已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),满足|
PF1
|+|
PF2
|=4的动点P的轨迹是曲线C.
(Ⅰ) 求曲线C的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=-x+b与曲线C交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
分析:(Ⅰ)由题意知,曲线C是以F1,F2为焦点的椭圆.故a=2,c=1,由此能求出曲线C的方程.
(Ⅱ)设直线l与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
,交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程
y=-x+b
3x2+4y2=12
,得7x2-8bx+4b2-12=0,因为△=48(7-b2)>0,所以b2<7,再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件能够求出△AOB面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)由题意知,曲线C是以F1,F2为焦点的椭圆.
∴a=2,c=1,∴b2=3,
故曲线C的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1
.…(3分)
(Ⅱ)设直线l与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
,交点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程
y=-x+b
3x2+4y2=12

得7x2-8bx+4b2-12=0,…(4分)
因为△=48(7-b2)>0,
解得b2<7,且x1+x2=
8b
7
x1x2=
4b2-12
7
,(5分)
∵点O到直线l的距离d=
|b|
2
,…(6分)
|AB|=
2
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
6
7
7-b2
,…(9分)
S△AOE=
1
2
|b|
2
4
6
7
7-b2
=
2
3
7
b2(7-b2)
3
.…(10分)
当且仅当b2=7-b2,即b2=
7
2
<7
时,取到最大值.
∴△AOB面积的最大值为
3
.…(12分)
点评:本题考是曲线方程的求法,考要三角形最大面积的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理的合理运用.
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