题目内容
(2012•吉林二模)已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),满足|
|+|
|=4的动点P的轨迹是曲线C.
(Ⅰ) 求曲线C的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=-x+b与曲线C交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
PF1 |
PF2 |
(Ⅰ) 求曲线C的标准方程;
(Ⅱ)直线l:y=-x+b与曲线C交于A,B两点,求△AOB面积的最大值.
分析:(Ⅰ)由题意知,曲线C是以F1,F2为焦点的椭圆.故a=2,c=1,由此能求出曲线C的方程.
(Ⅱ)设直线l与椭圆
+
=1,交点A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程
,得7x2-8bx+4b2-12=0,因为△=48(7-b2)>0,所以b2<7,再由韦达定理和点到直线的距离公式结合题设条件能够求出△AOB面积的最大值.
(Ⅱ)设直线l与椭圆
x2 |
4 |
y2 |
3 |
|
解答:解:(Ⅰ)由题意知,曲线C是以F1,F2为焦点的椭圆.
∴a=2,c=1,∴b2=3,
故曲线C的方程为:
+
=1.…(3分)
(Ⅱ)设直线l与椭圆
+
=1,交点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立方程
,
得7x2-8bx+4b2-12=0,…(4分)
因为△=48(7-b2)>0,
解得b2<7,且x1+x2=
,x1x2=
,(5分)
∵点O到直线l的距离d=
,…(6分)
|AB|=
=
,…(9分)
∴S△AOE=
•
•
•
=
≤
.…(10分)
当且仅当b2=7-b2,即b2=
<7时,取到最大值.
∴△AOB面积的最大值为
.…(12分)
∴a=2,c=1,∴b2=3,
故曲线C的方程为:
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)设直线l与椭圆
x2 |
4 |
y2 |
3 |
联立方程
|
得7x2-8bx+4b2-12=0,…(4分)
因为△=48(7-b2)>0,
解得b2<7,且x1+x2=
8b |
7 |
4b2-12 |
7 |
∵点O到直线l的距离d=
|b| | ||
|
|AB|=
2 |
(x1+x2)2-4x1x2 |
4
| ||
7 |
7-b2 |
∴S△AOE=
1 |
2 |
|b| | ||
|
4
| ||
7 |
7-b2 |
2
| ||
7 |
b2(7-b2) |
3 |
当且仅当b2=7-b2,即b2=
7 |
2 |
∴△AOB面积的最大值为
3 |
点评:本题考是曲线方程的求法,考要三角形最大面积的求法.解题时要认真审题,仔细解答,注意点到直线距离公式、根的判别式、韦达定理的合理运用.
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