题目内容
(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若







(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.

【答案】分析:(1)由三角形法则及向量共线的数乘表示,分别用向量
、
表示出
,相加即得用向量
、
表示
的表达式,进而判断
与
的关系;
(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,归纳得出猜想
,再数学归纳法证明结论.
解答:
解:(1)如图:点P、Q是线段AB的三等分点
=
,
则
,同理
,(2分)
所以
(4分)
即:
,
(2)设A1,A2.,…,An-1是AB的n等分点,
则
;
证:A1,A2,,An-1是线段n≥2的
等分点,
先证明:
(1≤k≤n-1,n、k∈N*).
由
,
,
因为
和
是相反向量,
则
,
所以
.
记
,

相加得
∴
.
点评:本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.








(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,归纳得出猜想

解答:



则


所以

即:

(2)设A1,A2.,…,An-1是AB的n等分点,
则

证:A1,A2,,An-1是线段n≥2的

先证明:

由


因为


则

所以

记


相加得

∴

点评:本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.

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