题目内容

(1)如图,设点P,Q是线段AB的三等分点,若,试用表示,并判断的关系;
(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.

【答案】分析:(1)由三角形法则及向量共线的数乘表示,分别用向量 表示出 ,相加即得用向量 表示 的表达式,进而判断的关系;
(2)受(1)的启示,如果点A1,A2,A3,…,An-1是AB的n(n≥3)等分点,归纳得出猜想 ,再数学归纳法证明结论.
解答:解:(1)如图:点P、Q是线段AB的三等分点 =
,同理 ,(2分)
所以 (4分)
即:
(2)设A1,A2.,…,An-1是AB的n等分点,

证:A1,A2,,An-1是线段n≥2的 等分点,
先证明:(1≤k≤n-1,n、k∈N*).

因为 是相反向量,

所以


相加得

点评:本小题主要考查平行向量与共线向量、归纳推理、数学归纳法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于中档题.
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