Question

10．已知函数f（x）=ax+1nx，g（x）=e^x．
（1）当a≤0时，求f（x）的单调区间；
（2）若不等式g（x）＜x+m有解，求实数m的取值范围；
（3）证明：当a=0时，|f（x）-g（x）|＞2．

Answer 1

分析 （1）先求出其导函数，以及导函数大于0，小于0对应的区间即可求函数f（x）的单调区间；
（2）因为关于x的不等式g（x）＜有解，将问题转化为m＞e^x-x有解即可，利用分离常数法进行求解；
（3）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），由于|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），设m（x）=e^x-x，利用导数研究其单调性得出m（x）＞m（0）=1，同样地，设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），得到n（x）≤n（1）=-1，从而有|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
∴$f'（x）=a+\frac{1}{x}，（x＞0）$，
①当a=0时，f'（x）＞0，所以在（0，+∞）单调递增；
②当a＜0时，由f'（x）=0，解得$x=-\frac{1}{a}$．
则当$x∈（0，-\frac{1}{a}）$时． f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．
当$x∈（-\frac{1}{a}，+∞）$时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减．
综上所述：当a=0时，f（x）增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）增区间是$（0，-\frac{1}{a}）$，减区间是$（-\frac{1}{a}，+∞）$．          
（2）由题意：e^x＜x+m有解，因此只需m＞e^x-x有解即可，
设h（x）=e^x-x，h'（x）=e^x-1，
因为x∈（0，+∞）时，e^x＞1，所以h'（x）＞0，故h（x）在[0，+∞）上递增，
又x∈（-∞，0）时，e^x＜1，所以h'（x）＜0．故h（x）在（-∞，0）上递减；
所以h（x）≥h（0）=1，
故m＞1．，
（3）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
∴|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），
设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），
因为m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函数，m（x）＞m（0）=1，
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因为n′（x）=$\frac{1}{x}$-1，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴当x=1时，n（x）取得极大值，即n（x）≤n（1）=-1，
故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2．

点评 本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及利用导数研究函数的极值．注意函数的定义域，此题是一道综合性题，考查学生计算能力，属于难题．