题目内容

已知向量
a
=（sin x，cos x），
b
=（
3
cos x，cos x），且
b
≠0，定义函数f（x）=2
a
•
b
-1．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若
a
∥
b
，求tan x的值；
（3）若
a
⊥
b
，求x的最小正值．
分析：（1）把给出的向量的坐标代入数量积，然后化积得到函数f（x）的解析式，利用含有三角函数的复合函数的单调性求函数f（x）的单调增区间；
（2）利用向量共线的坐标表示得到关于x的三角函数式，直接求解可得tan x的值；
（3）利用向量垂直的坐标表示得到关于x的三角函数式，求出x的正切值后即可求得x的最小正值．
解答：解：（1）f（x）=2
a
•
b
-1
=2（
3
sin xcos x+cos2x）-1=
3
sin 2x+cos 2x=2sin（2x+
π
6
）．
由2kπ-
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），
得kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
．∴单调增区间为[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z．
（2）由
a
∥
b
，得sin xcos x-
3
cos2x=0，
∵b≠0，∴cos x≠0．∴tan x-
3
=0，∴tan x=
3
．
（3）由
a
⊥
b
，得
3
sin xcos x+cos2x=0，
∵b≠0，∴cos x≠0，∴tan x=-
3
3

故x的最小正值为：x=
5π
6
．
点评：本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查了向量共线的坐标表示，考查计算能力，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（sinθ，-2），
b
=（cosθ，1）
（1）若
a
∥
b
，求tanθ；
（2）当θ∈[-
π
12
，
π
3
]时，求f（θ）=
a
•
b
-2|
a
+
b
|2的最值．
已知向量
a
=（sinθ，1），
b
=（1，-cosθ），θ∈（0，π）
（Ⅰ）若
a
⊥
b
，求θ；
（Ⅱ）若
a
•
b
=
1
5
，求tan(2θ+
π
4
)的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ），
b
=（2，1），满足
a
∥
b
，其中θ∈(0，
π
2
)
（I）求tanθ值；
（Ⅱ）求
2
sin(θ+
π
4
)(sinθ+2cosθ)
cos2θ
的值．
已知向量
a
=（sinθ，cosθ）与
b
=（
3
，1），其中θ∈（0，
π
2
）
（1）若
a
∥
b
，求sinθ和cosθ的值；
（2）若f（θ）=(
a
+ 
b
)2，求f（θ）的值域．
已知向量
a
=（sinθ，
3
cosθ），
b
=（1，1）．
（1）若
a
∥
b
，求tanθ的值；
（2）若|
a
|=|
b
|，且0＜θ＜π，求角θ的大小．

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