题目内容
10.定在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f($\frac{1}{3}$)=0,则适合不等式f(log${\;}_{\frac{1}{27}}$x)>0的x的取值范围是(0,$\frac{1}{3}$)∪(3,+∞).分析 由函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,结合函数的对称性可将不等式f(log${\;}_{\frac{1}{27}}$x)>0等价为:f(|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|)>f($\frac{1}{3}$),解此不等式即可得到所求的解集.
解答 解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,f($\frac{1}{3}$)=0
∴f(log${\;}_{\frac{1}{27}}$x)>0等价为:f(|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|)>f($\frac{1}{3}$),
又f(x)在[0,+∞)上为增函数,
∴|log${\;}_{\frac{1}{27}}$x|>$\frac{1}{3}$,∴log${\;}_{\frac{1}{27}}$x>$\frac{1}{3}$或log${\;}_{\frac{1}{27}}$x<-$\frac{1}{3}$,
∴0<x<$\frac{1}{3}$或x>3.
即不等式的解集为{x|x>3或0<x<$\frac{1}{3}$}
故答案为:(0,$\frac{1}{3}$)∪(3,+∞)
点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合,是函数性质综合考查题,熟练掌握奇偶性与单调性的对应关系是解答的关键,根据偶函数的对称性将不等式进行转化是解决本题的关键.
练习册系列答案
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