Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令cn=(-1)n+1log

an

n+1

2，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N^*且n≥2时，T2n＜

2

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．由此可知a_n=（n+1）•2ⁿ．
（2）由题意知T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

++

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

++

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

++

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

．然后再证明证

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

2

．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以数列{

an

2n

}是公差为1的等差数列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（6分）
（2）因为cn=(-1)n+1•

1

n

，则当n≥2时，T2n=1-

1

2

+

1

3

-

1

4

++

1

2n-1

-

1

2n

=(1+

1

2

+

1

3

++

1

2n

)-2(

1

2

+

1

4

++

1

2n

)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

．（9分）

下面证

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜

2

2

令g(x)=ln(x+1)-

x

x+1

(x＞0)，则g′(x)=

1

x+1

-

1

(x+1)2

=

x

(x+1)2

＞0，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，ln(x+1)＞

x

x+1

令x=

1

n

，ln

n+1

n

＞

1

n+1

?ln(n+1)-lnn＞

1

n+1

，ln(n+2)-ln(n+1)＞

1

n+2

，
，ln(n+3)-ln(n+2)＞

1

n+3

，ln(2n)-ln(2n-1)＞

1

2n

以上n个式相加，即有ln(2n)-lnn＞

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

∴

1

n+1

+

1

n+2

++

1

2n

＜ln(2n)-lnn=ln2＜

2

2

（14分）

点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．