题目内容

1.若方程|x2+4x+3|=x+4a有且仅有三个实数根,求实数a的值.

分析 作出函数图象,写出抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式,再与直线y=x+4a联立求出有一个交点时的a值,然后写出有3个解时的k值即可

解答 解:如图,x2+4x+3=(x+3)(x+1)=0,
解得x1=-3,x2=-1,
所以抛物线y=(x+3)(x+1)与x轴的交点坐标为(-3,0),(-1,0),
x=-3时,-3+4a=0,解得a=$\frac{3}{4}$,
原抛物线x轴下方部分关于x轴对称的抛物线解析式为y=-(x+3)(x+1),
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-(x+3)(x+1)}\\{y=x+4a}\end{array}\right.$,
消掉y得,x2+5x+3+4a=0,
△=52-4×1×(3+4a)=0,
解得a=$\frac{13}{16}$,
所以方程有且仅有三个实数根时,a的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{13}{16}$.

点评 本题考查了二次函数图象,一次函数图象,根据绝对值的性质要注意x轴下方部分的抛物线关于x轴对称,难点在于联立函数解析式求直线与抛物线关于x轴对称部分有一个交点时的情况.

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