题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=-f（x），f（x）在[0，2]上是增函数，则下列结论：
①若0＜x＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；
②若0＜x＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的解，x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=±8．
其中正确的命题的序号是
①若0＜x＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则f（x1）+f（x2）＞0；
②若0＜x＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则f（x1）＞f（x2）；
③若方程f（x）=m在[-8，8]内恰有四个不同的解，x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=±8．
其中正确的命题的序号是
①②③
①②③
．分析：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），则函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，结合函数的 性质作出函数的图象，即可求解
解答：解：由f（x+4）=-f（x）可得f（x+8）=f（x），此函数是以8为周期的周期函数，
又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减
①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则0＜x1＜4-x1＜4，即0＜x1＜2，-2＜x1-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x1）＞f（x1-4）=f（-x2）=-f（x2），则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确
②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则0＜x1＜5-x1＜4，即1＜x1＜
，f（x）在[0，2]上是增函数，由图可知：f（x1）＞f（x2）；故②正确；
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x1+x2+x3+x4=-12+4=-8，故③正确；
故答案为①②③
又f（x）是奇函数，且在[0，2]上为增函数
∴f（x）在[-2，0]上也是增函数
当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，且由已知可得f（x-4）=-f（x），则可得函数f（x）在[2，4]上单调递减，根据奇函数的对称性可知，f（x）在[-4，-2]上也是单调递减
①若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=4，则0＜x1＜4-x1＜4，即0＜x1＜2，-2＜x1-4＜0
由f（x）在[0，2]上是增函数可得f（x）在[-2，0]上也是增函数，则f（x1）＞f（x1-4）=f（-x2）=-f（x2），则f（x1）+f（x2）＞0；故①正确
②若0＜x1＜x2＜4，且x1+x2=5，则0＜x1＜5-x1＜4，即1＜x1＜
| 5 |
| 2 |
③四个交点中两个交点的横坐标之和为2×（-6），另两个交点的横坐标之和为2×2，此时x1+x2+x3+x4=-12+4=-8，故③正确；
故答案为①②③
点评：数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题，使用了数形结合的方法，可以简化基本运算
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x+