题目内容
如图,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,点在棱上,且满足.
(1)求证:;
(2)在棱上确定一点,使、、、四点共面,并求此时的长;
(3)求几何体的体积.
(1)详见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)连接,先由正方体的性质得到,以及平面,从而得到,利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面,于是得到;(2)假设四点、、、四点共面,利用平面与平面平行的性质定理得到,,于是得到四边形为平行四边形,从而得到的长度,再结合勾股定理得到的长度,最终得到的长度;(3)连接,由正方体的性质得到,结合(1)中的结论平面,得到
平面,然后选择以点为顶点,为高,四边形为底面的四棱锥,利用锥体的体积公式计算几何体的体积.
试题解析:(1)如下图所示,连接,
由于为正方体,所以四边形为正方形,所以,
且平面,,
,平面,
平面,;
(2)如下图所示,假设、、、四点共面,则、、、四点确定平面,
由于为正方体,所以平面平面,
平面平面,平面平面,
由平面与平面平行的判定定理得,
同理可得,因此四边形为平行四边形,,
在中,,,,
由勾股定理得,
在直角梯形中,下底,直角腰,斜腰,
由勾股定理可得,
结合图形可知,解得;
(3)如下图所示,连接交于点,
由于为正方体,,,,
所以四边形为平行四边形,,
由(1)知,平面,所以平面,平面,
由于为棱长为正方体,所以,
,
在直角梯形中,直角腰,上底,下底,
因此梯形的面积,
因此几何体的体积.
考点:1.直线与平面垂直的判定与性质;2.平面与平面平行的性质定理;3.锥体的体积的计算
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