题目内容
【题目】如图1是四棱锥的直观图,其正(主)视图和侧(左)视图均为直角三角形,俯视图外框为矩形,相关数据如图2所示.
(1)设中点为
,在直线
上找一点
,使得
平面
,并说明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值为
,求四棱锥
的外接球的表面积.
【答案】(1) 见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)利用中位线定理构造平行四边形,得到;(2) 由二面角
的平面角的余弦值为
,得到
,明确外接球的直径即为PB,易得四棱锥
的外接球的表面积.
试题解析:
(1)当是
中点时,
平面
,
证明如下:取中点
,连接
、
、
,
在中,
、
分别是
、
的中点,
∴是
的中位线,
∴且
,又
是
中点,
,
∴且
,
∴四边形是平行四边形,
∴.
又∵平面
,
平面
,
∴平面
.
(2)由三视图可得平面
,
在底面中,过
作
交
于点
,连接
,
∵平面
,
平面
,∴
,
又,
平面
,
平面
,∵
,∴
平面
,
又平面
,∴
,
∴是二面角
的平面角,
在底面矩形,
,
,∴
,
,
在中,又
,
∴,∴
.
由直观图易知四棱锥的外接球的直径即为
,
∴.
故四棱锥的外接球的表面积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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