Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$（n∈N^*）．
（1）证明：对一切n∈N^*有a_n＜a_n+1；
（2）证明：当n≥2时，$\frac{4n-1}{9n}$＜a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a_n＞0，a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，由此能证明对一切n∈N^*，有a_n＜a_n+1；
（2）由（1）可得数列{a_n}是递增数列，结合已知求出${a}_{2}=\frac{4}{9}$，再由当n≥2时，${a}_{n}≥{a}_{2}=\frac{4}{9}＞\frac{4n-1}{9n}$得答案．

解答 证明：（1）∵a₁=$\frac{1}{3}$＞0，∴a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，则a_n+1-a_n=$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$＞0，即a_n＜a_n+1；
（2）由（1）知，数列{a_n}是递增数列，
∵${a}_{1}=\frac{1}{3}$，且a_n+1=a_n+$\frac{{a}_{n}^{2}}{{n}^{2}}$，∴${a}_{2}={a}_{1}+\frac{{{a}_{1}}^{2}}{1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$，
∴当n≥2时，${a}_{n}≥{a}_{2}=\frac{4}{9}＞\frac{4n-1}{9n}$．

点评 本题考查不等式的证明，是中档题，关键是运用了数列的函数特性．