Question

7．已知函数$f（x）=（{{{log}_2}\frac{x}{2}}）•（{{{log}_{0.5}}\frac{4}{x}}）$，$（x∈[\sqrt{2}，16]）$，求：
（1）求log₂x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的单调性求log₂x的取值范围；
（2）利用配方法，求f（x）的值域．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}≤x≤16$
∴$\frac{1}{2}≤{log_2}x≤4$…．（4分）
（2）$y={（{log_2}x）^2}-3{log_2}x+2$=（log₂x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$…．（6分）
∵$\frac{1}{2}≤{log_2}x≤4$，
∴log₂x=$\frac{3}{2}$，y_min=-$\frac{1}{4}$，log₂x=4，y_max=6，
∴f（x）的值域$y∈[-\frac{1}{4}，6]$…．（8分）

点评 本题考查对数函数的单调性，考查二次函数的值域，正确转化是关键．