题目内容
【题目】已知函数
．
（1）求曲线
在原点
处的切线方程；
（2）求函数的单调区间及最大值；
（3）证明：
．
【答案】（1）
（2）
的递增区间为
，递减区间为
，函数最大值是
（3）详见解析
【解析】
（1）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k＝f'（0）＝0，据此分析可得答案；
（2）根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系分析函数的单调区间，据此分析可得函数的最大值；
（3）根据题意，由（2）的结论可得ln（x+1）≤x2+x，分别令x＝1、
、
，可得ln2
，ln
ln3﹣ln2
，ln
ln4﹣ln3
；将这些式子相加即可得的答案．
（1）
所求切线的斜率
从而曲线
在原点
处的切线方程为
（2）
由
得
；由
得
的递增区间为
，递减区间为，函数最大值是
（3）由（2）可知：
仅当
时取等号
别取
得
以上不等式两边相加即得所证不等式
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之间的关系,经过抽样调查五个不同时段的情形,统计得到如下数据:
间隔时间( | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
等候人数( | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 |
调查小组先从这5组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程,再用剩下的1组数据进行检验,检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数
,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求的回归方程是“理想回归方程”.
(1)若选取的是前4组数据,求关于的线性回归方程
,并判断所求方程是否是“理想回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过38人,试用所求方程估计间隔时间最多可以设为多少分钟?
参考公式:用最小二乘法求线性回归方程的系数公式:
,
.
