题目内容

已知定义在(-1,1)上的f(x)满足:对?x,y∈(-1,1),均有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且x>0时,f(x)>0,则函数y=f(x)在定义域上的奇偶性与增减性为(  )
分析:要判定函数f(x)在(-1,1)上的奇偶性,只需判定f(-x)与f(x)的关系,先令x=y=0求出f(0),然后令y=-x即可判定,最后根据函数单调性的定义进行判定单调性.
解答:解:∵f(0)+f(0)=f(0)⇒f(0)=0
∴令y=-x,f(-x)+f(x)=f(0)=0⇒f(-x)=-f(x)
∴f(x)在(-1,1)上是奇函数.
当-1<x<y<1时,
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(
x-y
1-xy
),且
x-y
1-xy
<0,
∵x>0时,f(x)>0,因为f(x)为奇函数,若x<0,可得-x>0,f(-x)>0,-f(x)>0,可得f(x)<0,

∴f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)<0,可得f(x)<f(y),
∴f(x)为增函数,
∴f(x)为奇函数且为增函数,
故选A;
点评:本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性,属于中档题,函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质,单调性是函数的“局部”性质.
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