Question

已知命题p：?x∈[2，3]，使得不等式x²-2x+1-m≥0成立；命题q：方程mx²+（m-5）y²=1表示双曲线．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：分别判定命题p，q为真命题时的等价条件，然后利用p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假，确定m的取值范围．

解答：解：∵x∈[2，3]，∴x²-2x+1=（x-1）²∈[1，4]，
?x∈[2，3]，使不等式x²-2x+1-m≥0，
∴m≤4．
故命题p为真时，m≤4；
方程mx²+（m-5）y²=1表示双曲线，则m（m-5）＜0⇒0＜m＜5，即q为真命题时：0＜m＜5．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
由复合命题真值表得命题p和命题q一真，一假．
若p真q假，则

m≤4 m≥5或m≤0

⇒m≤0．
若p假q真，则

m＞4 0＜m＜5

⇒4＜m＜5．
综上实数m的取值范围4＜m＜5或m≤0．

点评：本题主要考查命题真假的应用，要求熟练掌握复合命题的真值表，解答本题的关键是正确理解命题P的含义并求出命题P为真时m的范围．