题目内容

已知：|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
和
b
的夹角为45°，求：
（1）当向量
a
+λ
b
与λ
a
+
b
的夹角为钝角时，λ的取值范围；
（2）当λ=-2时，向量
a
+λ
b
与λ
a
+
b
的夹角的余弦值．
分析：（1）由已知中
a
+λ
b
与λ
a
+
b
b
的夹角为钝角，知(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0且
a
+λ
b
≠t(λ
a
+
b
)，(t＜0)，根据|
a
|=
2
，|
b
|=3，
a
和
b
的夹角为45°，可构造一个关于λ的不等式，解不等式即可得到λ的取值范围；
（2）求出当λ=-2时，向量
a
+λ
b
与λ
a
+
b
的模及数量积，代入向量夹角公式，即可求出向量
a
+λ
b
与λ
a
+
b
的夹角的余弦值．
解答：解：（1）∵
a
+λ
b
与λ
a
+
b
的夹角为钝角，知(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0且
a
+λ
b
≠t(λ
a
+
b
)，(t＜0)
由(
a
+λ
b
)•(λ
a
+
b
)＜0得3λ2+11λ+3＜0
解得 
-11-
85
6
＜λ＜
-11+
85
6
；
当
a
+λ
b
=t(λ
a
+
b
)，(t＜0)时，由
a
与
b
不共线知
1=tλ
λ=t
，解得λ=t=-1（1舍去）
所以λ的取值范围是
-11-
85
6
＜λ＜-1或-1＜λ＜
-11+
85
6
；
（2）当λ=-2时|
a
+λ
b
|=|
a
-2
b
|=
(
a
-2
b
)2
=
a
2+4
b
2-4
a
•
b
=
26

|λ
a
+
b
|=|-2
a
+
b
|=
(-2
a
+
b
)2
=
4
a
2+
b
2-2
a
b
=
5

（
a
+λ
b
）•（λ
a
+
b
）=（
a
-2
b
）•（-2
a
+
b
）=-2
a
2-2
b
2+5
a
b
=-7
所以  cosθ=
-7
26
5
=-
7
130
130
点评：本题考查的知识点是平面向量的综合应用，其中（1）中易忽略向量
a
+λ
b
与λ
a
+
b
反向的情况，而错解为
-11-
85
6
＜λ＜
-11+
85
6
．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(2，y)，
b
=(-1，y)，若2
a
与
b
垂直，则y等于（　　）
A、-
2
B、
2
C、±
2
D、2
已知集合A={2，4，5，7}，B={3，4，5}，则A∩B=（　　）
已知若
a
=(-2，λ)，
b
=(3，-5)，
a
和
b
夹角为钝角，则λ的取值范围是（　　）
（2013•浦东新区二模）已知集合A={-2，1，2}，B={
a
+1，a}，且B⊆A，则实数a的值是
1
1
．
已知点A(
2
，0)，动点M，N满足
OA
+
OM
=2
ON
，其中O是坐标原点，若KAM•K ON=-
1
2

（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个共公点，且l1⊥l2，求h的值．

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