Question

11．求下列函数的值域．
①f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$；
②f（x）=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$；
③f（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[-1，4]．

Answer 1

分析 （1）利用配方法求出${x}^{2}+3x-\frac{1}{4}$的范围，然后利用指数函数的单调性求得函数的值域；
（2）利用指数函数的单调性结合根式内部的代数式大于等于0求得函数的值域；
（3）利用换元法结合二次函数的单调性求得函数的值域．

解答 解：①∵${x}^{2}+3x-\frac{1}{4}=（x+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{5}{2}≥-\frac{5}{2}$，
∴0＜（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$≤$（\frac{1}{3}）^{-\frac{5}{2}}$=$9\sqrt{3}$．
∴f（x）=（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{x}^{2}+3x-\frac{1}{4}}$的值域为（0，$9\sqrt{3}$]；
②∵$（\frac{1}{2}）^{x}＞0$，∴$-（\frac{1}{2}）^{x}＜0$，则$1-（\frac{1}{2}）^{x}＜1$，
∴f（x）=$\sqrt{1-（\frac{1}{2}）^{x}}$的值域为[0，1）；
③∵x∈[-1，4]，∴${2}^{x}∈[\frac{1}{2}，16]$，
令t=2^x，则t∈$[\frac{1}{2}，16]$，
∴g（t）=f（x）=4^x-3•2^x+1=t²-3t+1．
则当t=$\frac{3}{2}$时，函数有最小值为$（\frac{3}{2}）^{2}-3×\frac{3}{2}+1=-\frac{5}{4}$；
当t=16时，函数有最大值为16²-3×16+1=209．
∴f（x）=4^x-3•2^x+1，x∈[-1，4]的值域为[-$\frac{5}{4}，209$]．

点评 本题考查函数的值域，考查了指数函数的单调性，训练了换元法求函数的值域，是中档题．