题目内容

设数列{a_n}、{b_n}满足 $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，n∈N^．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）对一切n∈N^，证明 $数学公式$ 成立；
（Ⅲ）记数列{a_n²}、{b_n}的前n项和分别是A_n、B_n，证明：2B_n-A_n＜4．

解：（Ⅰ）由2na_n+1=（n+1）a_n，得 $\text{[math]}$ ，（1分）
即数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，以 $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，∴ $\text{[math]}$ （3分）
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，
∴要证明 $\text{[math]}$ ，只需证明2b_n＜a_n²+2a_n，
即证 $\text{[math]}$ ，即证明ln（1+a_n）-a_n＜0成立．（5分）
构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），（6分）
则 $\text{[math]}$ ，当x＞0时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减，
故f（x）＜f（0）=0．∴ln（1+x）-x＜0，即ln（1+a_n）-a_n＜0对一切n∈N^*都成立，
∴ $\text{[math]}$ ．（8分）
（Ⅲ）∵2b_n-a_n²=2ln（1+a_n），由（Ⅱ）可知，2b_n-a_n²=2ln（1+a_n）＜2a_n，
∴2B_n-A_n＜2（a₁+a₂++a_n）=2 $\text{[math]}$ （10分）
利用错位相减求得： $\text{[math]}$ ，∴2B_n-A_n＜4（12分）
分析：（Ⅰ）由2na_n+1=（n+1）a_n，得 $\text{[math]}$ ，由此可求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知要证明 $\text{[math]}$ ，只需证明ln（1+a_n）-a_n＜0成立．构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则 $\text{[math]}$ ，当x＞0时，f'（x）＜0，故f（x）＜f（0）=0．ln（1+a_n）-a_n＜0对一切n∈N^*都成立．
（Ⅲ）由2b_n-a_n²=2ln（1+a_n）＜2a_n，知 $\text{[math]}$ ，利用错位相减求得2B_n-A_n＜4．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意构造和错位相减法的合理运用．