题目内容
在△ABC中,a、b、c分别为三内角A、B、C所对边的边长,且若是C=
,a+b=λc(其中λ>1)
(1)若λ=
时,证明△ABC为Rt△
(2)若
•
=
λ2,且c=3,求λ的值.
π |
3 |
(1)若λ=
3 |
(2)若
AC |
BC |
9 |
8 |
分析:(1)将λ的已知等式得到a+b=
c,利用正弦定理化简,由C的度数得出A+B的度数,用B表示出A,代入化简得到结果中,利用两角和与差的正弦函数公式化简,求出B的度,即可确定三角形为直角三角形;
(2)利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式,表示出ab,再利用余弦定理列出关系式,再由已知的等式,代入计算即可求出λ的值.
3 |
(2)利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式,表示出ab,再利用余弦定理列出关系式,再由已知的等式,代入计算即可求出λ的值.
解答:解:(1)∵λ=
,
∴a+b=
c,
∵C=
,即sinC=
,
∴由正弦定理得sinA+sinB=
sinC=
,
∴sinA+sinB=sinB+sin(
-B)=
sinB+
cosB-
sinB=
,
∴
sinB+
cosB=
,即sin(B+
)=
,
∴B+
=
或B+
=
,即B=
或B=
,
若B=
,得到A=
,此时△ABC为Rt△;若B=
时,△ABC亦为Rt△;
(2)∵
•
=
ab=
λ2,∴ab=
λ2,
又∵a+b=3λ,
由余弧定理知a2+b2-c2=2ab•cosC,即a2+b2-ab=c2=9,
∴(a+b)2-3ab=9,即9λ2-
λ2=9,
解得:λ=2.
3 |
∴a+b=
3 |
∵C=
π |
3 |
| ||
2 |
∴由正弦定理得sinA+sinB=
3 |
3 |
2 |
∴sinA+sinB=sinB+sin(
2π |
3 |
3 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
3 |
2 |
∴
3 |
2 |
| ||
2 |
3 |
2 |
π |
6 |
| ||
2 |
∴B+
π |
6 |
π |
3 |
π |
6 |
2π |
3 |
π |
6 |
π |
2 |
若B=
π |
6 |
π |
2 |
π |
2 |
(2)∵
AC |
BC |
1 |
2 |
9 |
8 |
9 |
4 |
又∵a+b=3λ,
由余弧定理知a2+b2-c2=2ab•cosC,即a2+b2-ab=c2=9,
∴(a+b)2-3ab=9,即9λ2-
9 |
4 |
解得:λ=2.
点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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练习册系列答案
相关题目
在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是( )
A、
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B、1 | ||||
C、
| ||||
D、
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