题目内容

在△ABC中,a、b、c分别为三内角A、B、C所对边的边长,且若是C=
π
3
,a+b=λc(其中λ>1)
(1)若λ=
3
时,证明△ABC为Rt△
(2)若
AC
BC
=
9
8
λ2
,且c=3,求λ的值.
分析:(1)将λ的已知等式得到a+b=
3
c,利用正弦定理化简,由C的度数得出A+B的度数,用B表示出A,代入化简得到结果中,利用两角和与差的正弦函数公式化简,求出B的度,即可确定三角形为直角三角形;
(2)利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式,表示出ab,再利用余弦定理列出关系式,再由已知的等式,代入计算即可求出λ的值.
解答:解:(1)∵λ=
3

∴a+b=
3
c,
∵C=
π
3
,即sinC=
3
2

∴由正弦定理得sinA+sinB=
3
sinC=
3
2

∴sinA+sinB=sinB+sin(
3
-B)=
3
2
sinB+
3
2
cosB-
1
2
sinB=
3
2

3
2
sinB+
3
2
cosB=
3
2
,即sin(B+
π
6
)=
3
2

∴B+
π
6
=
π
3
或B+
π
6
=
3
,即B=
π
6
或B=
π
2

若B=
π
6
,得到A=
π
2
,此时△ABC为Rt△;若B=
π
2
时,△ABC亦为Rt△;
(2)∵
AC
BC
=
1
2
ab=
9
8
λ2,∴ab=
9
4
λ2
又∵a+b=3λ,
由余弧定理知a2+b2-c2=2ab•cosC,即a2+b2-ab=c2=9,
∴(a+b)2-3ab=9,即9λ2-
9
4
λ2=9,
解得:λ=2.
点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.
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