Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点．
（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值．

Answer 1

分析：（1）证法1：过MN构造一个平面，使其平行于平面A₁CD，则可得MN∥平面A₁CD；
证法2：根据直线与平面平行的判定定理可知，只要在平面A₁CD里面找到一条直线与MN平行即可，因为M、N均为中点，所以构造平行线的时候可以考虑一下构造“中位线”．
（2）首先要作出这个截面，然后通过观察可知，截面将此长方体分成了一个三棱柱与一个四棱柱，接着求出各自的体积，再求出比值即可；或者进一步观察也能发现，这个三棱柱与四棱柱是等高的（因为在长方体中），所以我们其实只要求出它们的底面积的比值就可以了．

解答：（1）证法1：设点P（2）为AD（3）的中点，连接MP，NP（4）．
∵点M是BC的中点，
∴MP∥CD．
∵CD?平面A₁CD，MP?平面A₁CD，
∴MP∥平面A₁CD．（2分）
∵点N是AA₁的中点，
∴NP∥A₁D．
∵A₁D?平面A₁CD，NP?平面A₁CD，
∴NP∥平面A₁CD．（4分）
∵MP∩NP=P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，
∴平面MNP∥平面A₁CD．
∵MN?平面MNP，
∴MN∥平面A₁CD．（6分）

证法2：连接AM并延长AM与DC的延长线交于点P，连接A₁P，
∵点M是BC的中点，
∴BM=MC．
∵∠BMA=∠CMP，∠MBA=∠MCP=90°，
∴RtMBA≌RtMCP．（2分）
∴AM=MP．
∵点N是AA₁的中点，
∴MN∥A₁P．（4分）
∵A₁P?平面A₁CD，MN?平面A₁CD，
∴MN∥平面A₁CD．（6分）

（2）解：取BB₁的中点Q，连接NQ，CQ，
∵点N是AA₁的中点，
∴NQ∥AB．
∵AB∥CD，
∴NQ∥CD．
∴过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，
其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁．（8分）
∴S△QBC=

1

2

•QB•BC=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴直三棱柱QBC-NAD的体积V1=S△QBC•AB=

1

2

，（10分）
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积V=1×1×2=2，
∴直四棱柱B₁QCC₁-A₁NDD₁体积V2=V-V1=

3

2

．（12分）
∴

V1

V2

=

1 2

3 2

=

1

3

．
∴所截成的两部分几何体的体积的比值为

1

3

．（14分）
（说明：

V2

V   1

=3也给分）

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力