题目内容

请选做一题,都做时按先做的题判分,都做不加分.
(1)已知向量
m
=(2sinx,cosx-sinx),
n
=(
3
cosx,cosx+sinx)
,函数f(x)=
m
n

①求函数f(x)的最小正周期和值域;
②在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(
A
2
)=2
且a2=bc,试判断△ABC的形状.
(2)已知锐角△ABC,sin(A+B)=
3
5
,sin(A-B)=
1
5

①求证:tanA=2tanB;
②设AB=3,求AB边上的高CD的长.
分析:(1)①用向量的数量积将函数f(x)的解析式表示出来后化简成y=Asin(ωx+θ)可得答案.
②将
A
2
代入函数f(x)可求出A的值,再由余弦定理可得到b=c,从而得到答案.
(2)①根据两角和与差的正弦公式展开,可得sinAcosB=2cosAsinB,进而得到答案.
②根据正切函数的两角和公式,得出tanA与tanB的关系,再通过①中tanA=2tanB求出tanA和tanB的值.再通过AB=AD+BD=
CD
tanA
+
CD
tanB
进而求出CD的值.
解答:解:(1)①f(x)=
m
n
=(2sinx,cosx-sinx)•(
3
cosx,cosx+sinx)

=2
3
sinxcosx+cos2x-sin2x=
3
sin2x+cos2x=2sin(2x+
π
6

T=
2
,值域为[-2,2].
②∵f(
A
2
)=2sin(A+
π
6
)=2∴A=
π
3

∵a2=bc
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
b2+c2-bc
2bc
=
1
2
∴b=c
∴△ABC为等边三角形.
(2)①由sin(A+B)=
3
5
,sin(A-B)=
1
5
展开可整理得:
sinAcosB=
2
5
cosAsinB=
1
5

∴sinAcosB=2cosAsinB
∴tanA=2tanB
②∵
π
2
<A+B<π,sin(A+B)=
3
5

tan(A+B)=-
3
4
,即
tanA+tanB
1-tanAtanB
=-
3
4

又∵tanA=2tanB,∴2tan2B-4tan2B-1=0.
tanB=1+
6
2
tanB=1-
6
2
(舍),
tanA=2tanB=2+
6

AB=AD+BD=
CD
tanA
+
CD
tanB
=3

CD=2+
6
点评:本题主要考查了三角函数中的两角和公式的运用.此类题常综合三角函数性质、诱导公式、向量等问题.
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