题目内容
（2013•浙江模拟）已知向量
=（2sinx，1），
=（
cosx，2cos2x），函数f（x）=
•
-t．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，
]上有解，求t的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（Ⅰ）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（Ⅰ）若方程f（x）=0在x∈[0，
| π |
| 2 |
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C所对的边，当（Ⅰ）中的t取最大值且f（A）=-1，b+c=2时，求a的最小值．
分析：（I）由向量数量积的公式与三角恒等变换公式化简，得
•
=2sin（2x+
）+1．从而得到方程f（x）=0在x∈[0，
]上有解即t=2sin（2x+
）+1在x∈[0，
]上有解，再利用正弦函数的图象与性质加以计算，即可得到t的取值范围；
（II）由（I）得f（A）=2sin（2A+
）-2=-1，结合A为三角形的内角解出A=
．在△ABC中根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子算出a2=b2+c2-bc，结合b+c=2化简得a2=3b2-6b+4，再利用二次函数的性质加以计算，可得当且仅当b=c=1时，边a的最小值为1．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
（II）由（I）得f（A）=2sin（2A+
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）∵
=（2sinx，1），
=（
cosx，2cos2x），
∴
•
=2
sinxcosx+2cos2x=
sin2x+（1+cos2x）=2sin（2x+
）+1．
∵f（x）=
•
-t，方程f（x）=0在x∈[0，
]上有解，
∴
•
=t在x∈[0，
]上有解，即t=2sin（2x+
）+1在x∈[0，
]上有解．
∵当x∈[0，
]时，2x+
∈[
，
]，可得sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴当x∈[0，
]时，
•
=2sin（2x+
）+1∈[0，3]，
由此可得：若方程f（x）=0在x∈[0，
]上有解，t的取值范围为[0，3]；
（Ⅱ）由（I）得t=3，可得f（A）=2sin（2A+
）-2=-1，
∴sin（2A+
）=
，结合A∈（0，π）解之得A=
．
∵△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，∴a2=b2+c2-2bccos
=b2+c2-bc，
∵b+c=2，得c=2-b，∴a2=b2+（2-b）2-b（2-b）=3b2-6b+4=3（b-1）2+1，
因此，当b=1时，即b=c=1时，边a的最小值为1．
| m |
| n |
| 3 |
∴
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵f（x）=
| m |
| n |
| π |
| 2 |
∴
| m |
| n |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∵当x∈[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴当x∈[0，
| π |
| 2 |
| m |
| n |
| π |
| 6 |
由此可得：若方程f（x）=0在x∈[0，
| π |
| 2 |
（Ⅱ）由（I）得t=3，可得f（A）=2sin（2A+
| π |
| 6 |
∴sin（2A+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，∴a2=b2+c2-2bccos
| π |
| 3 |
∵b+c=2，得c=2-b，∴a2=b2+（2-b）2-b（2-b）=3b2-6b+4=3（b-1）2+1，
因此，当b=1时，即b=c=1时，边a的最小值为1．
点评：本题给出向量
、
含有三角函数式的坐标，求函数f（x）=
•
-t在指定区间上有零点的问题，并依此求三角形ABC边a的最小值．着重考查向量的数量积公式、三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和二次函数的性质等知识，属于中档题．
| m |
| n |
| m |
| n |
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