Question

18．三角形ABC中，内角A、B、C的对边的边长为a、b、c，a+b=3c，则cosA•cosB•cosC的最大值为多少．

Answer 1

分析 利用余弦定理表示出cosC，将a+b=3c变形后代入并利用基本不等式求出cosC的最小值，确定出cosC的范围，原式利用积化和差公式变形，整理后设出f（C），根据cosC的范围，利用二次函数性质求出最大值即可．

解答 解：∵a+b=3c，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-\frac{（a+b）^{2}}{9}}{2ab}$=$\frac{4（{a}^{2}+{b}^{2}）-ab}{9ab}$≥$\frac{8ab-ab}{9ab}$=$\frac{7}{9}$，
∴cosA•cosB•cosC=$\frac{1}{2}$[cos（A+B）+cos（A-B）]cosC≤$\frac{1}{2}$（1-cosC）cosC=f（C），
∵cosC∈[$\frac{7}{9}$，1），f（C）=-$\frac{1}{2}$（cosC-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$≤f（$\frac{7}{9}$）=$\frac{7}{81}$，
∴cosA•cosB•cosC的最大值为$\frac{7}{81}$．

点评 此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及二次函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．