Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=1，（n+2）a_n+1a_n-1=a_n •a_n-1+（n+1）a_n²，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过对（n+2）a_n+1a_n-1=a_n •a_n-1+（n+1）a_n²两边同时除以a_na_n-1，整理可知数列{$\frac{（n+2）{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，进而计算可得结论．

解答 解：∵（n+2）a_n+1a_n-1=a_n •a_n-1+（n+1）a_n²=a_n[a_n-1+（n+1）a_n]，
∴$\frac{（n+2）{a}_{n+1}{a}_{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{a}_{n}[{a}_{n-1}+（n+1）{a}_{n}]}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$，
整理得：$\frac{（n+2）{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+$\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
又∵a₁=1，a₂=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{3{a}_{2}}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{（n+2）{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{（n+2）{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$，
$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$=$\frac{n-2}{n}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$•$\frac{n-2}{n}$•…•$\frac{1}{3}$
=$\frac{2•1}{（n+1）•n}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=$\frac{2•1}{（n+1）•n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．