题目内容
已知椭圆经过点
,离心率为
,过点
的直线
与椭圆
交于不同的两点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围.
【答案】
(1);(2)
【解析】
试题分析:(1)由离心率为,得
,再根据椭圆C过点
,代入得
,联立之可求得
的值,进而写出椭圆方程;(2)考察直线和椭圆的位置关系,一般要将直线方程和椭圆方程联立,得关于某一变量的一元二次方程,设交点,然后利用韦达定理达到设而不求的目的,同时要注意
的隐含条件,该题设直线方程为
,代入椭圆方程得
,则
>0,得
的范围,设交点
,
,将
表示为
,然后利用韦达定理将其表示为
的式子,进而可以看成是自变量为
的函数
,求其值域即可.
试题解析:(1)由题意得 解得
,
.
椭圆
的方程为
.
(2)由题意显然直线的斜率存在,设直线
的方程为
,
由得
.
直线
与椭圆
交于不同的两点
,
,
,解得
.设
,
的坐标分别为
,
,则
,
,
,
.
.
,
.
的取值范围为
.
考点:1、椭圆的方程及简单几何性质;2、向量的数量积运算;3、韦达定理.
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