题目内容

(本小题满分12分)

   已知椭圆 经过点其离心率为

   (1)求椭圆的方程

(2)设直线与椭圆相交于AB两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点. 求到直线的距离的最小值.

 

 

【答案】

解:(Ⅰ)由已知,,所以,    ①   ………1分

   又点在椭圆上,所以 ,      ②   …………2分

 由①②解之,得.

   故椭圆的方程为.                        …………5分

  (Ⅱ) 当直线有斜率时,设时,

则由 

消去得,,         ……………6分

,  ③…………7分

AB点的坐标分别为,则:

,…………8分

   由于点在椭圆上,所以 .      ……… 9分

   从而,化简得,经检验满足③式.

       又点到直线的距离为:

              ………10分

当且仅当时等号成立         

当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,

从而点为,直线,所以点到直线的距离为1

所以点到直线的距离最小值为     ……12分

 

【解析】略

 

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