题目内容
(本小题满分12分)
已知椭圆 经过点其离心率为
(1)求椭圆的方程
(2)设直线与椭圆相交于A、B两点,以线段为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆上,为坐标原点. 求到直线的距离的最小值.
【答案】
解:(Ⅰ)由已知,,所以, ① ………1分
又点在椭圆上,所以 , ② …………2分
由①②解之,得.
故椭圆的方程为. …………5分
(Ⅱ) 当直线有斜率时,设时,
则由
消去得,, ……………6分
, ③…………7分
设A、B、点的坐标分别为,则:
,…………8分
由于点在椭圆上,所以 . ……… 9分
从而,化简得,经检验满足③式.
又点到直线的距离为:
………10分
当且仅当时等号成立
当直线无斜率时,由对称性知,点一定在轴上,
从而点为,直线为,所以点到直线的距离为1
所以点到直线的距离最小值为 ……12分
【解析】略
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