题目内容
【题目】如图,在直三棱柱中, 为的中点, .
(1)证明: 平面;
(2)若,求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)要证直线与平面垂直,就要证与平面内两条相交直线垂直,由已知, 为中点可证,从而可得,另外直三棱柱的底面是直角三角形,因此有与侧面垂直,从而得,这样由线面垂直的判定定理可得线面垂直;
(2)要求到平面的距离,可用体积法求得,首先求出的面积,通过计算求出(已知除外)三边长,另外的体积可通过来求,这里到平面的距离就是((1)中已证),体积可求.
试题解析:
(1)证明:
∵直三棱柱,
∴平面,
∵平面,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴平面.
∵平面,
∴,
∵为的中点,
∴,
∴与相似,且有,
∵,
∴ ;
(2)在矩形中, 为的中点,
可得,
在,由可得,
从而可求得,
显然有,即,
为点到平面的距离,
∵平面,
由,可得,
计算得, ,
∴,可推出,
∴点到平面的距离是.
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