题目内容
已知二次函数f（x）满足：f（-1）=0，且8x≤f（x）≤4（x2+1）对于x∈R恒成立．
（Ⅰ）求f（1）及f（x）的表达式；
（Ⅱ）设g(x)=
，定义域为D，现给出一个数学运算：x1→x2=g（x1）→x3=g（x2）→…→xn=g（xn-1），若xn∈D，则运算继续下去；若xn∉D，则运算停止给出x1=
，请你写出满足上述条件的集合D={x1，x2，x3，…xn}．
（Ⅰ）求f（1）及f（x）的表达式；
（Ⅱ）设g(x)=
| x2-1 |
| f(x) |
| 7 |
| 3 |
分析：（I）令x=1，可得f（1）的值，然后根据f（-1）=0与f（1）的值可求得b以及a与c的等量关系，最后根据ax2+bx+c≥8x恒成立，可求出a、b、c的值，从而求出所求；
（II）将x1代入g(x)=
，可求出x2，依此类推，当xn∉D，则运算停止，从而得到满足上述条件的集合D={x1，x2，x3，…xn}．
（II）将x1代入g(x)=
| x2-1 |
| f(x) |
解答：解：（Ⅰ）由8x≤f（x）≤4（x2+1），令x=1，得8≤f（1）≤8，∴f（1）=8
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（1）=8及f（-1）=0得
⇒b=4，a+c=4
又ax2+bx+c≥8x，即ax2-4x+4-a≥0对x∈R恒成立∴
，即（a-2）2≤0，
∴a=2，c=2，
故f（x）=2（x+1）2…（6分）
（Ⅱ）由g(x)=
=
=
-
，由题意x1=
，x2=g(x1)=
，x3=g(x2)=-
，x4=g(x3)=-1，x5无意义，
故D={
，
，-
，-1}．…（12分）
设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（1）=8及f（-1）=0得
|
又ax2+bx+c≥8x，即ax2-4x+4-a≥0对x∈R恒成立∴
|
∴a=2，c=2，
故f（x）=2（x+1）2…（6分）
（Ⅱ）由g(x)=
| x2-1 |
| f(x) |
| x-1 |
| 2(x+1) |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x+1 |
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
故D={
| 7 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数求值，同时考查了计算能力和转化的思想，属于中档题．
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