题目内容

已知实数x，y满足
x+3y-3n-1≤0
2x-y+n-2≤0
，其中n∈N*，目标函数z=x+y的最大值记为an，又数列{bn}满足：nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=（
9
10
）n-1+（
9
10
）n-2+…+
9
10
+1
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若cn=-an•bn，试问数列{cn}中，是否存在正整数k，使得对于{cn}中任意一项cn，都有cn≤ck成立？证明你的结论．
分析：（1）利用线性规划求出数列的通项公式an，利用nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=（
9
10
）n-1+（
9
10
）n-2+…+
9
10
+1
作差求出{bn}的通项公式；
（2）写出cn=-an•bn，通过比较数列{cn}中，存在正整数k=8或9，使得对于{cn}中任意一项cn，都有cn≤ck成立
解答：解：（1）由线性规划知识可知an=n+1              …4 分
．当n=1时b1=1
当n≥2时
由nb1+（n-1）b2+…+2bn-1+bn=（
9
10
）n-1+（
9
10
）n-2+…+
9
10
+1，得，
（n-1）b1+（n-2）b2+…+bn-1=（
9
10
）n-2+（
9
10
）n-3+…+
9
10
+1
两式相减，
得：b1+b2+…+bn-1+bn=（
9
10
）n-1，n≥2，
显然n=1时b1=1也适合上式即：…6 分
b1+b2+…+bn-1+bn=（
9
10
）n-1，n∈N
当n≥2时
bn=Sn-Sn-1=-
1
10
(
9
10
)n-1
即：bn=
1                 n=1
-
1
10
(
9
10
)n-1       n≥2
                  …8 分
（2）由（1）与（2）得：cn=-an•bn，
=
-2                 n=1
n+1
10
(
9
10
)n-2       n≥2
      …（10分）
当n=1时，c2-c1=
23
10
＞0⇒c2＞c1                    …（11分）
当n≥2时，cn+1-cn=
8-n
100
(
9
10
)n-2，…（13分）
∴当n＜8时，cn+1＞cn
当n=8时，cn+1=cn，
当n＞8时，cn+1＜cn
即c1＜c2＜…＜c8＞c9＞c10＞c11＞…（15分）
所以存在正整数k=8或9，使得对于{cn}中的任意一项cn，均有cn≤c8或cn≤c9 …（16分）
点评：本题考查数列求和，通项公式的应用，数列的函数特征，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知实数x，y满足
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A、|y|＜
b
a
x
B、y＞-
b
2a
|x|
C、|y|＞-
b
a
x
D、y＜
2b
a
|x|
已知实数x，y满足
x-y+2≥0
x+y≥0
x≤1.
则z=2x+4y的最大值为
 
．
已知实数x、y满足
x+2y-2≥0
x≤2
y≤1
则z=
|3x+4y-2|
5
的最小值为
 
．
已知实数x，y满足
x≥0
y≥0
x+y≤s
y+2x≤4
，当2≤s≤3时，目标函数z=3x+2y的最大值函数f（s）的最小值为
6
6
．
（2012•湛江一模）已知实数x，y满足
x≥1
y≤2
x-y≤0
，则x2+y2的最小值是（　　）

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