Question

【题目】在直角坐标xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为.

（1）求椭圆的直角坐标方程；

（2）已知过的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】

（1）直接利用转换公式将极坐标方程与直角坐标方程进行转化；

（2）设，，，以及的方程，将的方程与椭圆联立，分析可得，借助根与系数的关系可以将四边形面积用表示出来，利用换元法及基本不等式的性质分析可得答案．

（1）曲线的极坐标方程：，

即，

根据

转换为直角坐标方程为：．

（2）设，，，，，

则由，可得，

即，

△，

则

又因为，

所以四边形是平行四边形，，

设平面四边形的面积为，

则，

设，则，

所以，

因为在上是增函数，

所以，当时等号成立，

故，

，当时等号成立，

所以，，

所以四边形面积的最大值为6．