题目内容

函数f(x)=2
3
cos2
ωx
2
+sinωx-
3
(ω＞0)在一个周期内的图象如图，A为最高点，B，C为图象与x轴的交点，且
BA
•
CA
=0．
（1）求ω的值及f（x）的值域；
（2）若f(x0)=
8
5
，且x0∈(-
10
3
，
2
3
)，求f(x0+1)的值．
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（ωx+
π
3
），根据两个向量垂直的条件求得，
BA
 ⊥
CA
，可得
1
2
BC=2，由此可得函数的周期为8，即
2π
ω
=8．
求出ω 的值，即可求得 f（x）=2sin（
π
4
x+
π
3
），从而求得f（x）的值域．
（2）由条件求得sin（
π
4
x0+
π
3
）=
4
5
，cos（
π
4
x0+
π
3
）=
3
5
，再根据 f（x0+1）=2sin[
π
4
（x0+1）+
π
3
]=2sin[（
π
4
x0+
π
3
）+
π
4
]，利用两角和的正弦公式求得结果．
解答：解：（1）∵函数f(x)=2
3
cos2
ωx
2
+sinωx-
3
(ω＞0)=
3
（1+cosωx）+sinωx-
3
=2sin（ωx+
π
3
），
BA
•
CA
=0，∴
BA
 ⊥
CA
，∴
1
2
BC=2，∴BC=4，故函数的周期为8，即
2π
ω
=8，
解得ω=
π
4
，∴f（x）=2sin（
π
4
x+
π
3
），∴f（x）的值域为[-2，2]．
（2）∵f(x0)=
8
5
，且x0∈(-
10
3
，
2
3
)，∴2sin（
π
4
x0+
π
3
）=
8
5
，sin（
π
4
x0+
π
3
）=
4
5
．
再由（
π
4
x0+
π
3
）∈（-
π
2
，
π
2
）可得 cos（
π
4
x0+
π
3
）=
3
5
．
∴f（x0+1）=2sin[
π
4
（x0+1）+
π
3
]=2sin[（
π
4
x0+
π
3
）+
π
4
]=2sin （
π
4
x0+
π
3
）cos
π
4
+2cos （
π
4
x0+
π
3
）sin
π
4

=
7
2
5
．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，两个向量垂直的条件，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
当0＜x＜
π
2
时，函数f(x)=
1+cos2x+8sin2x
sin2x
的最小值为（　　）
A、2
B、2
3
C、4
D、4
3
（2012•兰州模拟）若函数f(x)=sinωx+
3
cosωx，x∈R，又f（α）=f（β）=2，且|α-β|的最小值等于3π，则正数ω的值为（　　）
（2013•肇庆二模）已知函数f(x)=Asin(ωx+
π
6
)（A＞0，ω＞0，x∈（-∞，+∞））的最小正周期为π，且f(0)=
3
，则函数y=f（x）在[-
π
4
，
π
4
]上的最小值是（　　）
设函数f(x)=
3
cos(ωx-?)-sin(ωx-?)，(ω＞0，|ω|＜π)是偶函数，且在[0，
2π
3
]上递增，则ω的最大值为（　　）
已知函数f(x)=
x2-4
2x
，
x≤2
x＞2
，若f（a）=8，则a=（　　）

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