题目内容
已知实数x,y满足

思路解析:满足题设条件的点(x,y)的轨迹是椭圆,因此可利用参数方程将x,y表示为三角函数,把问题转化为三角问题求解.
解:∵+y2=1,∴设
(0≤θ<2π)
(1)U=x2+y2-2y=4cos2θ+sin2θ-2sinθ=-3sin2θ-2sinθ+4=-3(sinθ+
)2,∵-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=1时,即x=0,y=1时,有Umin=-1;
当sinθ=-时,即x=±
,y=-
时有Umax=
,故U的范围是[-1,
].
(2)∵V==
,∴sinθ-2Vcosθ=2-3V.
∴sin(θ+φ)=2-3V.
∴|sin(θ+φ)|≤1.
∴1+4V2≥(2-3V)3,
即5V2-12V+3≤0.
∴≤V≤
.
(3)d==
|sinθ+cosθ-2|=
.
∴当sin(θ+)=1时,即x=
,y=
时,
有dmin=|
-2|=
;
当sin(θ+)=-1时,即x=-
,y=-
时,
有dmax=|-
-2|=
.
∴d的取值范围是[,
].

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