题目内容

已知实数x,y满足+y2=1,(1)求U=x2+y2-2y的取值范围;(2)求V=取值范围;(3)将点M(x,y)到直线l:x+2y=4的距离记为d,求d的取值范围.

思路解析:满足题设条件的点(x,y)的轨迹是椭圆,因此可利用参数方程将x,y表示为三角函数,把问题转化为三角问题求解.

解:+y2=1,∴设(0≤θ<2π)

(1)U=x2+y2-2y=4cos2θ+sin2θ-2sinθ=-3sin2θ-2sinθ+4=-3(sinθ+)2,∵-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=1时,即x=0,y=1时,有Umin=-1;

当sinθ=-时,即x=±,y=-时有Umax=,故U的范围是[-1,].

(2)∵V==,∴sinθ-2Vcosθ=2-3V.

sin(θ+φ)=2-3V.

∴|sin(θ+φ)|≤1.

∴1+4V2≥(2-3V)3,

即5V2-12V+3≤0.

≤V≤.

(3)d==|sinθ+cosθ-2|=.

∴当sin(θ+)=1时,即x=,y=时,

有dmin=|-2|=;

当sin(θ+)=-1时,即x=-,y=-时,

有dmax=|--2|=.

∴d的取值范围是[].


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