题目内容
已知数列{an}满足Sn=
，其中Sn是数列{an}的前n项和．
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）若a1=1，S2=4，求数列{
}的最大值项．
| n(a1+an) |
| 2 |
（1）证明：数列{an}是等差数列；
（2）若a1=1，S2=4，求数列{
| an |
| 2n-1 |
考点：等差数列的性质,数列的函数特性
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）利用数列{an}的前n项和公式，得到Sn-1=
，Sn+1=
，再根据等差数列的定义即可证明
（2）由题意求出an=2n-1，设bn=
，求出bn+1-bn＞0，bn+1-bn＜0，故n=2时，数列{
}有最大值项，问题得以解决
| (n-1)(a1+an-1) |
| 2 |
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
（2）由题意求出an=2n-1，设bn=
| an |
| 2n-1 |
| an |
| 2n-1 |
解答：
解（1）∵Sn=
，
∴Sn-1=
，Sn+1=
∴an=Sn-Sn-1=
-
，
同理有an+1=Sn+1-Sn=
-
，
从而an+1-an═
+
-n（a1+an），
整理得an+1-an=an-an-1=a2-a1
从而{an}是等差数列．
（2）∵a1=1，S2=4，
∴a1+a2=S2=4，
∴a2=3，
∴a2-a1=3-1=2，
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
设bn=
，
∴bn=
=
，
∴bn+1-bn=
-
=
（
-n），
∵
＞0，
∴当n=1时，b2-b1＞0，当n≥2时，bn+1-bn＜0
∴当n=2时，数列{
}有最大值项，
∴b2=
，
故
为数列{
}的最大值项．
| n(a1+an) |
| 2 |
∴Sn-1=
| (n-1)(a1+an-1) |
| 2 |
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
∴an=Sn-Sn-1=
| n(a1+an) |
| 2 |
| (n-1)(a1+an-1) |
| 2 |
同理有an+1=Sn+1-Sn=
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
| n(a1+an) |
| 2 |
从而an+1-an═
| (n+1)(a1+an+1) |
| 2 |
| (n-1)(a1+an-1) |
| 2 |
整理得an+1-an=an-an-1=a2-a1
从而{an}是等差数列．
（2）∵a1=1，S2=4，
∴a1+a2=S2=4，
∴a2=3，
∴a2-a1=3-1=2，
∴an=a1+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
设bn=
| an |
| 2n-1 |
∴bn=
| an |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
∴bn+1-bn=
| 2n+1 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2n-1 |
| 3 |
| 2 |
∵
| 1 |
| 2n-1 |
∴当n=1时，b2-b1＞0，当n≥2时，bn+1-bn＜0
∴当n=2时，数列{
| an |
| 2n-1 |
∴b2=
| 3 |
| 2 |
故
| 3 |
| 2 |
| an |
| 2n-1 |
点评：本题考查了等差数列的证明，以及求数列的最大值项的问题，关键是求出数列的通项公式，属于中档题．
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