题目内容
已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：
①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时，有f(x1-x2)=
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a，0）∪（0，4a）时，
①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．
①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时，有f(x1-x2)=
| f(x1)f(x2)+1 | f(x2)-f(x1) |
②f（a）=-1（a＞0，a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时，f（x）＜0．
（1）判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间的关系，并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0，2a）上的单调性，并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a，0）∪（0，4a）时，
①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．
分析：（1）将x1-x2和x2-x1分别代入抽象表达式①，即可判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间互为相反数，并推断函数f（x）为奇函数
（2）利用已知条件③和函数单调性定义，即可证明函数f（x）在（0，2a）上为单调增函数
（3）①令x1=a，x2=-a，代入抽象表达式结合f（a）=-1即可得f（2a）的值；②先证明函数f（x）关于点（2a，0）对称，进而判断函数f（x）在（-4a，0）和（0，4a）上的单调性，最后利用单调性解不等式即可
（2）利用已知条件③和函数单调性定义，即可证明函数f（x）在（0，2a）上为单调增函数
（3）①令x1=a，x2=-a，代入抽象表达式结合f（a）=-1即可得f（2a）的值；②先证明函数f（x）关于点（2a，0）对称，进而判断函数f（x）在（-4a，0）和（0，4a）上的单调性，最后利用单调性解不等式即可
解答：解：（1）不妨令x=x1-x2，则f(-x)=f(x2-x1)=
=-
=-f（x1-x2）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0，2a）上任取两个实数x1、x2，
且x1＜x2，则有f(x1)-f(x2)=
，
∵0＜x＜2a时，f（x）＜0，
∴f（x2）＜0且f（x1）＜0，
故f（x2）f（x1）＞0，
即f（x2）f（x1）+1＞0；
∵0＜x1＜2a，0＜x2＜2a且x1＜x2，∴0＜x2-x1＜2a，
即有f（x2-x1）＜0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=
=
=
=0，
②∵f（2a-x）=
=
，f（2a+x）=
=
=-
∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a，0）对称
由（2）知f（x）在（0，2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a，4a）上也是增函数，
∴f（x）在（0，4a）上是增函数；在（-4a，0）上也是增函数
当x-4∈（0，4a）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（2a）?x-4＜2a，
∴0＜x-4＜2a，即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a，0）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（-2a）?x-4＜-2a，
∴-4a＜x-4＜-2a，即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a，4-2a）∪（4，2a+4）．
| f(x2)f(x1)+1 |
| f(x1)-f(x2) |
| f(x1)f(x2)+1 |
| f(x2)-f(x1) |
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0，2a）上任取两个实数x1、x2，
且x1＜x2，则有f(x1)-f(x2)=
| f(x2)f(x1)+1 |
| f(x2-x1) |
∵0＜x＜2a时，f（x）＜0，
∴f（x2）＜0且f（x1）＜0，
故f（x2）f（x1）＞0，
即f（x2）f（x1）+1＞0；
∵0＜x1＜2a，0＜x2＜2a且x1＜x2，∴0＜x2-x1＜2a，
即有f（x2-x1）＜0；
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在（0，2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=
| f(a)f(-a)+1 |
| f(-a)-f(a) |
| 1-f 2(a ) |
| -2f(a) |
| 1-1 |
| 2 |
②∵f（2a-x）=
| f(2a )f(x )+1 |
| f(x )-f(2a) |
| 1 |
| f(x) |
| f(2a )f(-x )+1 |
| f(-x )-f(2a) |
| 1 |
| f(-x) |
| 1 |
| f(x) |
∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a，0）对称
由（2）知f（x）在（0，2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a，4a）上也是增函数，
∴f（x）在（0，4a）上是增函数；在（-4a，0）上也是增函数
当x-4∈（0，4a）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（2a）?x-4＜2a，
∴0＜x-4＜2a，即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a，0）时，f（x-4）＜0?f（x-4）＜f（-2a）?x-4＜-2a，
∴-4a＜x-4＜-2a，即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a，4-2a）∪（4，2a+4）．
点评：本题综合考查了抽象函数表达式的意义和应用，函数的奇偶性及其判断，函数的单调性定义及其证明，利用函数的单调性和对称性解不等式
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