题目内容
【题目】已知直线过点
,圆
:
.
(1)求截得圆弦长最长时
的直线方程;
(2)若直线被圆N所截得的弦长为
,求直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
或
.
【解析】试题分析:(1)把圆N的方程化为标准方程,找出圆心的坐标,根据题意可知直线
过圆心时截得的弦最长,故由
及
的坐标确定出直线
的方程即可;(2)设直线
与圆
交于
和
两点的坐标,过圆心
作
垂直于
,根据垂径定理得到
为
的中点,从而得到
,接下来分两种情况考虑:第一,直线
的斜率不存在时,可得直线
的方程为
,把
代入圆
的方程中,得到关于
的一元二次方程,求出方程的解得到
的值,经过检验得到
时,弦
的长为
,符合题意;第二,当直线
的斜率存在时,设出直线
的斜率为
,由
的坐标和设出的斜率
写出直线
的方程,在直角三角形
中,由
的长及半径
的长,利用勾股定理求出
的长,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心
到直线
的距离
,令
等于求出的
的长列出关于
的方程,求出方程的解得到
的值,确定出直线
的方程,综上,得到所有满足题意的直线
的方程.
试题解析:(1)显然,当直线通过圆心N时,被截得的弦长最长,由
,得
故所求直线
的方程为
,即
.
(2)设直线与圆N交于
两点(如图),作
交直线
于点D,显然D为AB的中点,且有
(Ⅰ)若直线的斜率不存在,则直线
的方程为
,将
代入
,得
,解得
,
因此符合题意
(Ⅱ)若直线的斜率存在,不妨设直线
的方程为
即:
,由
,得
,
,因此
,又因为点N到直线
的距离
所以,即:
,此时直线
的方程为
,综上可知,直线
的方程为
或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了保护学生的视力,教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换.已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表:
天数/天 | 151~180 | 181~210 | 211~240 | 241~270 | 271~300 | 301~330 | 331~360 | 361~390 |
灯管数/只 | 1 | 11 | 18 | 20 | 25 | 16 | 7 | 2 |
(1)试估计这种日光灯的平均使用寿命;
(2)若定期更换,可选择多长时间统一更换合适?