题目内容

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3），若f（x）的最大值大于-3，求a的取值范围．
分析：不等式f（x）＞-4x的解集为（1，3），得方程f（x）=-4x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值大于-3，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系．
解答：解：设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-4x两个根是1，3，
即ax2+（b+4）x+c=0两个根是1，3．
∴
-
b+4
a
=4
c
a
=3

∴b=-4a-4，c=3a
又f（x）的最大值大于-3，即
4ac-b2
4a
＞-3
消去b，c得到关于a不等式，
a2+5a+4＞0
解得a的取值范围是-1＜a＜0或a＜-4．
点评：本题考查不等式与方程之间的内在联系，体现了函数与方程的数学思想，解题的过程中，要有主元素的思想，即要把条件转化成关于a的不等关系．
练习册系列答案
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（2013•广州一模）已知二次函数f（x）=x2+ax+m+1，关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集为（m，m+1），其中m为非零常数．设g(x)=
f(x)x-1
．
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