题目内容

已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-4x的解集为(1,3),若f(x)的最大值大于-3,求a的取值范围.
分析:不等式f(x)>-4x的解集为(1,3),得方程f(x)=-4x两个根是1,3.由此可得出二次函数f(x)中的系数间的关系,又f(x)的最大值大于-3,得二次项系数a<0且可以得到关于a的不等关系.
解答:解:设f(x)=ax2+bx+c,(a<0),由题意得方程f(x)=-4x两个根是1,3,
即ax2+(b+4)x+c=0两个根是1,3.
-
b+4
a
=4
c
a
=3

∴b=-4a-4,c=3a
又f(x)的最大值大于-3,即
4ac-b2
4a
>-3

消去b,c得到关于a不等式,
a2+5a+4>0
解得a的取值范围是-1<a<0或a<-4.
点评:本题考查不等式与方程之间的内在联系,体现了函数与方程的数学思想,解题的过程中,要有主元素的思想,即要把条件转化成关于a的不等关系.
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