题目内容
3.已知圆C的圆心在直线y=x+1上,半径为$\sqrt{2}$,且圆C经过点P(5,4)(1)求圆C的标准方程;
(2)求过点A(1,0)且与圆C相切的切线方程.
分析 (1)设圆C的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=2,由于点C在直线y=x+1上,则b=a+1;圆C经过点P(5,4),可得(5-a)2+(4-b)2=2,联立解出即可得出;
(2)利用直线与圆相切的充要条件即可得出.
解答 解:(1)设圆C的标准方程为:(x-a)2+(y-b)2=2,
∵点C在直线y=x+1上,则b=a+1,
∵圆C经过点P(5,4),∴(5-a)2+(4-b)2=2,
解得:a=4,b=5.
∴圆C:(x-4)2+(y-5)2=2.
(2)设直线l斜率为k,则直线l方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.
由题意知,圆心(4,5)到已知直线l的距离等于半径$\sqrt{2}$,
即$\frac{|4k-5-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=\sqrt{2}$,解得k=1或k=$\frac{23}{7}$.
所求切线方程是y=x-1,或$\frac{23}{7}$x-$\frac{23}{7}$.
点评 本题考查了圆的标准方程及其应用、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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