Question

【题目】已知f（x）=log2（2x+a）的定义域为（0，+∞）．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=log2（2x+1），且关于x的方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+a＞0得2x＞﹣a，即x＞log2（﹣a），即函数的定义域为（log2（﹣a），+∞）．

∵函数的定义域为（0，+∞），

∴log2（﹣a）=0，则﹣a=1，则a=﹣1

（2）解：当a=﹣1时，f（x）=log2（2x﹣1），

由f（x）=m+g（x）得m=f（x）﹣g（x）=log2（2x﹣1）﹣log2（2x+1）

=log2（ ）=log2（1﹣ ），

令h（x）=log2（1﹣ ），

则h（x）在[1，2]上为增函数，

当x=1时，h（x）取得最小值h（1）=log2 ，

当x=2时，h（x）取得最大值h（2）=log2 ，

则h（x）∈[log2 ，log2 ]，

则要使方程f（x）=m+g（x）在[1，2]上有解，

则m∈[log2 ，log2 ]

【解析】（1）求出函数的定义域，根据条件建立方程进行求解即可，（2）利用参数分离法进行分类，然后利用复合函数的单调性之间的关系，构造函数求出函数的值域即可得到结论．
【考点精析】利用复合函数单调性的判断方法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”．