题目内容

(本题满分12分)
两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3,-1),并且各自绕着A,B旋转,如果两条平行直线间的距离为d.
求:1)d的变化范围;
2)当d取最大值时两条直线的方程.
(1) (0,3].(2) 3xy-20=0和3xy+10=0.
(1)两直线的最大距离为直线与线段AB垂直时,距离最大,最大值为|AB|=.所以d的变化范围为.
(2)由于当d最大时,AB与直线垂直,所以可以利用AB的斜率求出直线的斜率,进而求出其直线方程.
(1)方法一:①当两条直线的斜率不存在时,即两直线分别为x=6和x=-3,则它们之间的距离为9.                         ………………2分
②当两条直线的斜率存在时,设这两条直线方程为
l1y-2=k(x-6),l2y+1=k(x+3),
l1kxy-6k+2=0,l2kxy+3k-1=0, ………………4分
d==.                ………………6分
即(81-d2)k2-54k+9-d2=0.                  ………………8分
k∈R,且d≠9,d>0,
Δ=(-54)2-4(81-d2)(9-d2)≥0,即0<d≤3且d≠9.………………12分
综合①②可知,所求d的变化范围为(0,3].

方法二:如图所示,显然有0<d≤|AB|.
而|AB|==3.
故所求的d的变化范围为(0,3].
(2)由图可知,当d取最大值时,两直线垂直于AB.
kAB==,
∴所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为
y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3xy-20=0和3xy+10=0.
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