题目内容

已知△ABC中，三边长a，b，c满足a2-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0，则这个三角形最大角的大小为
120°
120°
．
分析：根据条件可得b=
(a-3)(a+1)
4
，c=
a2+3
4
，显然c＞b，假设c=
a2+3
4
＞a，解得 a＜1或a＞3，刚好符合，故最大边为c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．
解答：解：把a2-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0联立可得，b=
(a-3)(a+1)
4
，c=
a2+3
4
，显然c＞b．
比较c与a的大小．
因为b=（a-3）（a+1）/4＞0，解得a＞3，（a＜-1的情况很明显为负数舍弃了）
假设c=
a2+3
4
＞a，解得 a＜1或a＞3，刚好符合，
所以c＞a，所以最大边为c．
由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC，
即 (
a2+3
4
)2=a2+[
(a-3)(a+1)
4
]2-2a
(a-3)(a+1)
4
cosC，
解得cosC=-
1
2
，∴C=120°，
故答案为：120°．
点评：本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，判断最大边为c，是解题的关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC中，三边的比为3：5：7，则△ABC中最大角是（　　）
A、
π
2
B、
2π
3
C、
3π
4
D、
5π
6
已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，a2+b2-
2
ab=c2，函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）求角C的大小；
（3）求f(
A
2
)的取值范围．
给出下列四个结论：
①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．
②若等差数列an的前n项和为Sn，则三点(10，
S10
10
)，(100，
S100
100
)，(110，
S110
110
)共线．
③等差数列an中，若S10=30，S20=100，则S30=210．
④设f(x)=
1
2x+
2
，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为
9
2
2
．
其中，结论正确的是
 
．（将所有正确结论的序号都写上）
给出下列四个结论：
①已知△ABC中，三边a，b，c满足（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则∠C等于120°．
②若等差数列an的前n项和为Sn，则三点(10，
S10
10
)，(100，
S100
100
)，(110，
S110
110
)共线．
③等差数列an中，若S10=30，S20=100，则S30=210．
④设f(x)=
1
2x+
2
，则f（-8）+f（-7）+…+f（0）+…+f（8）+f（9）的值为
9
2
2
．
其中，结论正确的是 ______．（将所有正确结论的序号都写上）

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