Question

（2013•嘉定区一模）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=BC=PA=2．
（1）求三棱锥P-ABC的体积V；
（2）求异面直线AB与PC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意，可得PA就是三棱锥P-ABC的高，而底面△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥P-ABC的体积V；
（2）取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=

2

，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA=h，是三棱锥P-ABC的高，…（3分）
因此，三棱锥P-ABC的体积为
V=

1

3

Sh=

1

3

S△ABC×h=

1

3

•

1

2

•AC•BC•PA=

4

3

．…（6分）
（2）取PA中点E，PB中点F，BC中点G，
连接EF，FG，EG，
∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线
∴EF∥AB，FG∥PC，
因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．…（2分）
连接AG，则Rt△AEG中，AG=

AC2+CG2

=

5

，…（3分）
EG=

EA2+AG2

=

6

，…（4分）
又∵AB=PC=2

2

，∴EF=FG=

2

．…（5分）
由此可得，在△EFG中
cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2EF•FG

=-

1

2

，…（7分）
结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．
综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．…（8分）

点评：本题给出一条侧棱垂直于底面的三棱锥，求该棱锥的体积并求异面直线所成角，着重考查了异面直线及其所成的角及其求法、棱锥的体积公式等知识，属于基础题．